集合论研究什么？

每一个学习数学的人都或多或少地接触过集合论. 所谓集合论，其研究对象就是集合和它们之间的“属于”关系. 在现代数学的各个分支中，结构性的概念如群、拓扑、\(\sigma\)-代数，其定义的开头总是“设 \(X\) 是一个集合，满足……”更进一步，甚至关系、函数、卡氏积，自然数、有理数、实数等数学的基本概念，也可以在集合论的框架中，只用集合和它们间的“属于”关系严密定义.

从这个角度讲，集合论作为数学基础是适当的。交、并、幂集的概念，偶尔加上选择公理（Zorn 引理），对于这些应用已经足够。这里涉及的命题也不过是类似 de Morgan 律的证明或者是 “任意多\(\sigma\)-代数的交仍是\(\sigma\)-代数”之类，把命题用 \(\forall\)-\(\exists\) 语言¹叙述一遍就显然得证。这便给人一种错觉，以为集合论就是专门把显然的命题严格化的，仅此而已。

当然，事实并非如此，否则集合论也无法成长为像今天这样一个多姿多彩的学科。集合论的真正精神是“对无穷概念的探索”。事实上，在 Cantor 之前，人们对于无穷并没有一个明确的认识。无穷是什么？无穷是否存在？无穷能否比较大小？这些问题一直没有令人满意的回答。正如 David Hilbert 所说，“无穷！从未有其他问题能如此震撼人类的精神；从未有其他观念能如此激励人类的理智，让它结出丰硕的果实；也从未有其他概念比无穷更需要澄清……”

直观上，无穷就是“整体可以等于部分”，如在 \(0.9999\ldots = 1\) 的证明²中，我们对“无穷”的认识，就是“从无穷多个 9 中拿走一个 9，剩下的 9 和原来一样多”。这个认识十分直截了当且易操作，许多小学生也能理解。这可以作为第一个问题的答案。现代数学承认自然数集是（作为一个整体）“存在”的，也就是说存在无穷³. 每本合格的数学分析教材上都会证明实数有不可数多个，比自然数要多⁴。同样的方法可以证明对任意集合 \(X\), \(X\) 的幂集 \(\mathcal P(X)\) 比 \(X\) 要多。于是无穷是不一样大的，且有无穷多种不一样大的“无穷”，回答了第三个问题。由此也可以定义基数的概念。基数可以视为一种言语上的简略，指“一样多”的一类集合。

于是我们更进一步，问：“无穷究竟能有多大？”这就是一个很有趣的问题了。更具体地问，一个无穷，用比它更小的无穷去描述它、逼近它，能够到何种程度？可以看几个例子。如果我们只有“可数”的概念，由于可数集合的可数并仍是可数的，“不可数”这一概念不能由“并”达到。但是，通过取幂集，即可达到某个不可数基数。我们将自然数基数称为 \(\aleph_0\), 将比它大的最小基数称为 \(\aleph_1\), 如此类推。于是 \(\aleph_1\) 可以由 \(\aleph_0\) 取幂集达到⁵。那么，将所有 \(\aleph_n\) 做个可数并，得到的是什么呢？显然，它不能是任何一个 \(\aleph_n\), 否则将出现 \(\aleph_{n+1} < \aleph_n\) 的荒谬结果。于是我们得到了一个新的基数，一般称为 \(\aleph_\omega\), 它具有如下性质：以小于它的基数为材料，只用“并”的方式就可以达到它。但是，可数基数本身却表现了完全不同的性质：只从“有限”这个概念，不论是幂集还是并还是别的什么集合论允许的基本操作（其实都归结为这两者），永远也达不到可数基数！（这里要澄清一点，并运算只限于有限并——说好了只有“有限”这个概念）。所以，有限和可数之间，有一条不可逾越的鸿沟。从有限，永远也达不到可数无穷。

这样看来，我们可以想像这样一种无穷基数：比它小的基数不能描述它（在上述意义下）。佛曰：“不可说，不可说”，这种基数为这句话做了完美的注解。⁶这样的基数——正如可数基数本身一样——不能从其他公理出发证明其存在性，而必须用一条公理保证它的存在。佛很激动，但集合论学家们很淡定。他们为这种基数取了一个毫无想象力的名字——大基数。

或问，这样的基数对于“看得见”的数学有何帮助？就像量子效应在很小的尺度上才能观察到但仍对我们的生活起着巨大影响（U盘的技术基于量子力学）一样，大基数与不可测集具有某种联系。具体地说，我们知道 Borel 集在连续映射下的象（解析集）是可测的。但是，如果允许有限次取补集及向低维投射的操作，所得的集合（投射集）就未必可测了。事实上可以证明，这些集合可测当且仅当某类特殊的大基数存在。对于集合的宇宙而言，实直线就像一粒沙；但是在其中竟然藏有可能比整个宇宙还大的结构。“芥子纳须弥”，谁说只是玄谈呢？